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从历史的角度讲大学数学|《数学:它的内容、方法和意义》(下)

发布时间:2021-09-04 05:55:01人气:
本文摘要:五、微分几何微分几何的主要研究工具是三维空间中的平滑曲线和平滑曲面,它们的现代名称叫一维和二维的微分流形。为了描画曲线和曲面的几何形状和弯曲水平,数学家们引入了曲率的观点。微分几何这门课程的主要内容有:三维空间的曲线论、三维空间中曲面的局部几何性质、三维空间中曲面的整体几何性质。

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五、微分几何微分几何的主要研究工具是三维空间中的平滑曲线和平滑曲面,它们的现代名称叫一维和二维的微分流形。为了描画曲线和曲面的几何形状和弯曲水平,数学家们引入了曲率的观点。微分几何这门课程的主要内容有:三维空间的曲线论、三维空间中曲面的局部几何性质、三维空间中曲面的整体几何性质。

在历史上,数学家先运用了二阶导数求出了平面曲线的曲率,然后在18世纪,欧拉用平面与曲面相交的方法界说了曲面的法曲率,他发现使法曲率取极大值与极小值的两个偏向相互垂直,而且推导出了盘算法曲率的欧拉公式:这里的k1和k2是法曲率的两个极值,k(φ)是φ 角偏向上的法曲率。接下来,19世纪初的高斯革新了欧拉的曲面法曲率的界说,从而获得了他的高斯曲率界说,而且运用高斯曲率,系统地研究了曲面的基天性质,证明晰“高斯曲率仅与曲面的怀抱有关”这个十分重要的内蕴几何命题,这个命题为厥后的黎曼建立他的黎曼几何奠基了坚实的基础。在现在的大学微分几何课本中,盘算法曲率的欧拉公式一般是运用魏因加滕(Weingarten)变换来证明的,这是一个作用在切平面上的线性变换,它也是一个对称变换,因此可以运用线性代数中关于欧氏空间上对称变换的结论来证明这个欧拉公式。

这个证明虽然十分简练,可是其几何意义是不太清楚的,学生真正明白起来有一定的难题。《数学》的第二卷第七章专门解说了微分几何这门课程的基本想法。首先作者详细解释了平面曲线的曲率观点,而且推导出了曲率盘算公式,特别是给出了曲率的一个直观的几何解释:曲率是曲线脱离切线的速度。

然后作者在讨论平滑曲面的弯曲时,就根据欧拉的方法,用通过曲面法线的平面与曲面相交,从而获得一族法截线。这些法截线都是平面曲线,因此就可以运用它们的曲率来描画曲面的弯曲水平。接下来,作者用了18世纪的数学家们所熟悉的简朴直观的方法,来证明上述盘算法曲率的欧拉公式,这个证明方法仅仅用到了平面直角坐标系的旋转公式和二元函数的泰勒展开公式,以及前面由作者给出的平面曲线曲率的几何解释(见下图):图5:《数学》中对法曲率欧拉公式的简朴直观证明这个简朴而又良好的证明,可以让学生对平滑曲面的局部结构有一个十分清晰的明白。《数学》的作者在详细解说曲面的局部几何性质的同时,还运用了大量的精致几何图形来直观地显示曲面的弯曲变形、测地线等种种几何性质,这种情形在现在的大学几何书里已经很是少见了(这应该归因于现在绝大多数写大学数学书的作者还不能熟练地掌握电脑作图软件,而在已往则是由专人卖力绘图的)。

六、偏微分方程偏微分方程理论在物理学和现代科学技术中有十分重要的应用,同时它也是现代数学中一个很重要的基础分支学科。在大学数学系的各门课程中,偏微分方程属于是比力难的课程,它可以简朴地看成是常微分方程理论的进一步深化与拓广。

数学分析课程中险些所有的内容其实主要就是在为偏微分方程作准备的(固然也为其他一些课程作准备),例如数学分析级数论中的函数项级数的一致收敛理论,就重复地被用到了偏微分方程的课程中,特别是看上去比力奇怪的用三角函数级数来表现任意函数的傅里叶级数的理论,基本上就是为偏微分方程课程量身定做的,另有多元微积分中比力庞大的联系曲线与曲面积分的高斯公式(即散度定理),更是成为了研究偏微分方程中的和谐方程解的性质的有力工具。偏微分方程(有时也称为“数学物理方程”)这门课程包罗了很是富厚的内容。从18世纪中叶法国数学家达朗贝尔开始研究颠簸方程的求解问题到现在,已经由去了两百多年,在此期间,像欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西这样的大数学家都对偏微分方程理论作出了重要的孝敬。

偏微分方程理论最基本的问题也和常微分方程一样,就是要研究偏微分方程的求解方法息争的性质。这门课程通常包罗了颠簸方程、热传导方程、和谐方程、一般的二阶线性偏微分方程、一阶偏微分方程组等基本内容。《数学》第二卷的第六章专门讲偏微分方程。作者首先详细先容了一些最简朴的偏微分方程的形成历程,以及它们所具有的富厚的物理意义,然后运用经典的分散变量法,来重点给出了双曲型偏微分方程的详细求解历程(其中的是三元函数,是拉普拉斯算子),这个经典方法的实质就是将偏微分方程转化为常微分方程来求解,而且其中又用到了傅里叶级数的基本思想。

作者还用这个分散变量法进一步求解了和谐方程。接下来,作者又简要先容了求解和谐方程的经典的位势法。

对于大多数偏微分方程来说,由于无法获得它们的准确解,所以就需要运用近似算法来求出偏微分方程的近似解,作者以和谐方程为例,详细先容了最常用的差分法。在这一章的最后一节,作者深入浅出地详细解说了偏微分方程广义解的基本思想,这对于想开端相识现代偏微分方程理论的学生来说,是很有教益的。七、概率论只管概率论的思想起源很早,可是只有到了20世纪,概率论才真正成为了一门严格系统的数学理论。

特别是在20世纪中叶,人们开始发现了概率论在自然科学和社会科学中具有大量的应用,于是在上世纪50年月,大学数学系开始开设了概率论这门新的数学课程。由于《数学》这套书是在上世纪50年月写的,所以它对概率论的先容还只限于很开端的水平,有些基本内容没有先容。现在大学概率论课程的主要内容有:随机事件和古典概型、随机变量及其漫衍、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理。

在概率论的教学中,比力难的内容是随机变量的引入、以及统计量漫衍函数的推导。微积分正是通过一连随机变量这一重要途径而进入了统计学领域,从而在基础上改变了早期概率论只讨论古典概型的状况。因此,应该较早地渗透漫衍函数的思想,以及要用数理统计的实际应用来引入概率论中各个基本观点,这是因为在历史上,概率论的各个基本观点主要都是因为数理统计的需要而自然发生的。《数学》的第二卷第十一章专门先容了概率论这门课程中的一些基本想法。

作者首先先容了初等概率论的正义和概率的基本盘算公式,然后重点解释了大数定律和中心极限定理的基本寄义。接下来,作者提要先容了随机历程观点的基本思想。八、实变函数论在数学分析中研究的函数基本上都是性质比力好的函数,例如可微或者一连,最差的函数是只有有限个中断点。

作为数学分析的进一步深入和生长,实变函数论主要研究在一连性、可微性和可积性方面比力差的函数。实变函数论的重点是勒贝格积分理论。

我们知道,数学分析中的黎曼积分适用于基本上一连的函数,而从实变函数论的角度看,有界函数 f(x)在[a,b]上黎曼可积的充要条件是f(x)在[a,b]上的中断点荟萃的勒贝格测度为零。为了扩大可积函数类,改善积分的性质,就需要引入勒贝格积分,这种积分具有比黎曼积分更优良的性质,因此它的用处其实比黎曼积分更大,像和谐分析和泛函分析等高一级的分析学分支学科都需要建设在勒贝格积分理论的基础之上。

关于实变函数论的用处,在《数学》第三卷的后面讲泛函分析的第十九章中这样说道:勒贝格积分“对于泛函分析是如此须要,正好象严格的实数理论之对于微积分基础。”可是另一方面,在实变函数论课程中所举行的推理与证明又比数学分析中的推理越发细密和深邃,因此学生学习与明白起来也越发难题,这就需要让学生多相识一些关于实变函数论的来龙去脉,以增加学习的动力。实变函数论这门课程的主要内容有:荟萃的运算、欧氏空间中的开集和闭集、可测集类、可测函数及其性质、勒贝格积分。《数学》第三卷的第十五章专门讲实变函数论。

这一章虽然写得不是很长,但由于接纳了历史上关于测度论的一些早期的朴素思想来举行解说,因而能够比力清楚地表达了实变函数论这门课程的精神实质和最基本的想法。作者首先讲了荟萃和运算和实数的基天性质,然后开始先容开集与闭集的测度的观点,在这里,作者接纳了一种比通常教科书上的界说大为简化了的测度界说(也是一种早期的测度界说),虽然现在课本上的测度界说更为一般,可是这个简化了的测度界说却能够使读者越发容易地明白可测集与可测函数这两个最基本观点的内在寄义。接下来,作者运用了一个数钱币的比喻来展现勒贝格积分的基本思想,即如果有大量的差别价值的钱币,要求盘算这些钱币的总价值是几多,那么就有两种差别的盘算方法。第一种方法是依次累加,第二种方法是先将同样价值的钱币放在一堆,再用每一堆钱币的个数乘以这堆钱币的单价,然后将所获得的这些数值加起来即可。

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第一种方法对应了黎曼积分的历程,而第二种方规则对应了勒贝格积分的历程。这个很是简朴的比喻可以进一步生长成用两种图形划分的方法来盘算函数f(x)在闭区间[a,b]上的曲边梯形:图6:《数学》用两种图形划分来解释黎曼积分和勒贝格积分的基本想法这里的上面谁人图形显示的是学生熟悉的黎曼积分的想法,而下面的这个图形就显示了勒贝格积分的想法,即把值域分成许多小区间,从而就能够将[a,b]分为许多两两不相交的可测集,现在每个可测集上函数值都相差很少,于是在每个可测集上用任一点的函数值乘以可测集的“长度”(即测度),然后求和,再用和式的极限作为勒贝格积分的值。固然在一般的实变函数论课本上,勒贝格积分的正式界说是比力抽象的(用上积分与下积分相等来界说),而在《数学》这本书中,作者用了一个比力简朴的等价界说,即先把被积函数写成特征函数的线性组合,再将勒贝格积分界说为这些特征函数的勒贝格积分的线性组合。

在这一章的最后,作者还给出了实变函数论在傅里叶分析(或和谐分析)中的一个很简朴的应用:联系函数f(x)的傅里叶级数的各个系数的帕塞瓦尔(Parseval)等式建立的充要条件是f(x)是可测函数,而且f(x)^2 是勒贝格可积的函数。试想,如果没有实变函数论,就无法对满足帕塞瓦尔等式的函数类作出准确的形貌。九、抽象代数(或近世代数)抽象代数是在20世纪初期形成的一门数学分支学科,它研究的工具是某些专门的荟萃,在这些荟萃上界说了满足若干条件或正义的代数运算,这种荟萃也称为代数系统。在现在的大学抽象代数课程里,主要教学三种代数系统(群、环、域)的开端理论。

在历史上,群论和域论的最基本观点起源于代数方程的求解理论。详细来说,群论和域论起源于法国数学家伽罗瓦在研究一元代数方程的解是否有根式表现问题时所作出的重要发现,他发现可以将庞大的扩域问题转化为比力简朴的具有对称性的置换群结构问题,从而彻底解决了5次以上的代数方程何时有根式解的经典问题。与此同时,人们在研究数论(特别是证明费马大定理)的历程中,以感德金为代表的一些数学家逐步形成了环的理想理论。到了20世纪的20年月末,数学家范德瓦尔登凭据数学家诺特和E. Artin的讲稿,写出了经典名著《代数学》,它系统总结了抽象代数的基本理论,对现代数学的生长影响极大。

然而遗憾的是,在范德瓦尔登的《代数学》中,并没有给出抽象代数理论的形成历程,许多厥后写的抽象代数的教科书基本上延续了这种只讲理论,不讲来龙去脉的做法,这给学生学习和明白抽象代数造成了不小的难题。《数学》的第三卷第二十章专门解说了抽象代数这门课程中,一些基本理论的思想方法和它们的应用。作者首先认为群论在抽象代数的理论中起着特别突出的作用,可以用群论来很好地说明抽象代数的思想和方法。

作者详细先容了置换群和几何变换群,用它们来解释关于群的一些基本观点,特别是详细解说了在美术装饰和结晶体中用得比力多的无限离散群。然后作者简要先容了代数方程的伽罗瓦群的基本寄义。

接下来,作者开始解说群论的一些基本观点,包罗群的一般界说、群的同构、稳定子群和商群,还仔细解释和证明晰同态基本定理。作者用比力多的篇幅对群论作了进一步的先容。作者先容了李群和拓扑群的观点、拓扑学中的基本群和扭结群的观点。然后再着重解说了有着许多应用的群表现与特征标的基本观点,与一般抽象代数课本中讲群表现论的方法差别,《数学》的作者运用了早期比力容易明白的群的矩阵表现来解说群表现论的基本观点,甚至还可以讲到有限群的不行约表现的阶数与群的阶数之间的关系等式。

接下来,作者先容了在抽象代数的生长历史上具有重要意义的超复数,它是复数的极大推广,其中就包罗了著名的四元数。然后作者解说了却合代数,其中也包罗了常用的矩阵代数。

对于李代数的先容,作者用矩阵的指数函数清楚地解释了李代数与李群的对应关系,而且详细证明晰三维空间全体向量的荟萃对于向量的外积乘法所组成的李代数,与空间中围绕不动点的旋转群相对应,由此就可以让读者看到几何观点与空间的旋转群之间的精密联系。作者在解释环的理想理论的意义时,先容了在历史上很有名的在证明费马大定理时,人们对于唯一剖析性质和理想数的重要发现,而且还先容了理想理论另一个起源地——初等代数几何:在理想与代数簇之间具有一些最基本的天然联系,例如不行约簇所对应的理想一定是素理想等。作者在这一章的最后,简要先容了格的基本观点及性质。

十、拓扑学拓扑学主要研究在一连变形下关于几何形状的稳定性质。它曾被数学家J. Dieudonné 誉为是现代数学中的“女王”。这主要是因为拓扑学的思想方法已经渗透到了现代数学的各个分支学科中,无论是数论、抽象代数和代数几何,还是微分方程与几何分析,都运用了许多拓扑学的理论与方法。然而,在大学拓扑学课本的编写中,往往会受到“一般拓扑-单纯同调-奇异同调-同伦”这一理论框架的束缚,较少解释拓扑学的思想方法泉源于那边,其作用又是什么。

实际上,拓扑学的基本思想泉源于复变函数论(尤其是黎曼面)和经典代数几何,而在现代数学和科学技术中,之所以要大量使用拓扑学方法的主要原因是由于研究高维抽象几何空间整体问题的需要,由此我们也可以将拓扑学看成是更抽象的现代意义上的几何学。现在大学拓扑学课程的主要内容有:拓扑空间的基本观点、紧致性和连通性、商空间与闭曲面、同伦与基本群、复叠空间、单纯同调、映射度与不动点。《数学》第三卷的第十八章专门讲拓扑学。这一章根据拓扑学生长的历史途径,先解释了一些常用曲面的拓扑性质,如定向与亏格等。

然后作者先容了早期的组合剖分方法,从中导出了组合拓扑学的基本观点:边缘、闭链和同调等,特别还讲到了曲面欧拉定理的推广——欧拉-庞加莱公式。接下来,作者用拓扑学的看法解说了常微分方程的奇点和定性理论,以及流形上一连切向量场的奇点定理。该章虽然没有详细展开对于一般拓扑、同伦、同调群等拓扑学基础理论的先容,但还是简朴提及了相关的一些历史生长状况。

十一、泛函分析早期泛函分析的一个主要思想泉源是经典的变分法。在变分法中,“泛函”就是函数的函数。变分法的主要问题是:在一个函数荟萃中,求出使泛函到达极值的函数。

此时,函数 已经不是作为个体的工具来研究,而是作为函数荟萃(或函数空间)的一个“点”,这样就与几何学联系了起来,从而可以对整个一类函数的性质加以研究。泛函分析的另一个思想泉源是积分方程,数学家们从积分方程的理论中生长出了希尔伯特空间和线性算子的理论。希尔伯特空间是一种特殊的内积空间,它具有许多优良的性质,这使得它被应用到不少数学分支学科和物理学中。

为了使积分方程理论普遍化,数学家巴拿赫进一步建设了比希尔伯特空间规模更广的巴拿赫空间(即完备赋范空间)的理论,巴拿赫空间包罗了许多详细的函数空间,例如,闭区间[a,b]上全体 p次幂勒贝格可积函数的荟萃Lp[a,b]就可以组成一个巴拿赫空间(似乎整个实变函数论主要就是为了证明这一重要结论而作准备)。泛函分析理论为各个分析学的分支学科的迅速生长奠基了坚实的理论基础,这些学科就包罗了偏微分方程、和谐分析、数值分析、数学物理等。

现在大学水平的泛函分析课程主要包罗的内容有:距离空间和赋范空间、有界线性算子与一连线性泛函、希尔伯特空间几何学开端、有界线性算子的谱。《数学》的第三卷第十九章专门先容了泛函分析这门课程中的一些基本想法。作者在这一章的第1节主要回首了内积空间(即线性代数中的“欧氏空间”)的观点及其基天性质。

第2节与第3节主要先容希尔伯特空间的观点。如果在一个内积空间中,由其内积导致的范数用来作为距离,而组成的距离空间是完备的话,那么这个内积空间就是希尔伯特空间。作者所给出的希尔伯特空间的主要例子是勒贝格平方可积函数空间 L2[a,b],这种无限维的函数空间很像维的几何空间,它不仅具有由无穷个函数组成的尺度正交基,而且可以像傅里叶级数展开那样,将此空间中的任何一个函数展开成这个尺度正交基的线性组合。

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第4节先容了希尔伯特空间理论的主要思想泉源——积分方程。作者先从物理学的角度详细给出了齐次积分方程十二、《数学》的其他内容虽然以上的十一门课程已经包罗了数学系学生应该掌握的大部门近代数学的知识,但由于要保持各个课程内容的系统性,导致了有不少近代数学知识被清除在大学数学课程体系之外。

这个时候,就很需要让学生阅读像《数学》这样的数学高级科普读物,来举行拾遗补缺。《数学》中所讲述的以下这些知识基本上没有被包罗在通常的大学数学课程体系之内:1.代数方程理论古典的代数方程理论在已往是数学系的一门课程,自从上世纪60年月抽象代数进入大学数学系的课程后,它就不再讲了。然而代数方程理论属于学生应该知道的近代数学知识内容,否则就无法更好地明白抽象代数、盘算方法等课程的内容。

在《数学》第一卷的第四章,作者先容了代数方程理论中一些最基本的内容,包罗三、四次代数方程解的公式、拉格朗日预解式、伽罗瓦理论的基本思想、代数基本定理、笛卡儿符号规则、斯图姆定理、根的近似盘算法等。2.仿射几何与射影几何《数学》第一卷的第三章解说析几何,其中包罗了平面剖析几何、空间剖析几何、仿射几何、射影几何等富厚的内容。平面剖析几何早已经在上世纪60年月下放至中学,而空间剖析几何则有与线性代数(或多元微积分)课程合并起来的趋势。

虽然在师范院校数学系的一门“高等几何”课程中要讲仿射几何与射影几何,可是在其他大学的数学系一般都不讲仿射几何与射影几何。其实这两门经典的几何学与现代数学中的一些分支学科具有内在的联系,例如代数几何中讲射影代数簇的时候,就必须要用到射影几何与齐次坐标。《数学》的作者在解说射影几何与射影对应映射的时候,用了一个射影几何方法在航空射影中实际应用的例子,很好地说明晰中心透视对应唯一性定理的基本寄义。

3.变分法前面已经说过变分法的主要目的是求出泛函的极值。在《数学》第二卷的第八章中,作者运用经典的变分方法,推导了两个用来确定极值函数的偏微分方程(即欧拉方程和和谐方程),由此显示了变分法的基本思想。

4.数论大学的数论课程一般不作为基础课程,数论课程又可以分为初等数论、代数数论息争析数论这三门课程。《数学》第二卷的第十章先容了经典的剖析数论中的一些基本想法,内容主要包罗关于zeta函数的欧拉恒等式、素数漫衍定理、黎曼料想、三角和方法、切比雪夫方法、哥德巴赫料想等。5.函数迫近论在《数学》第二卷的第十二章中,作者简朴先容了函数迫近论的一些最基本的思想,这些思想被用在了盘算方法这门课程中。

这章的内容包罗了经典的插值多项式、定积分的迫近、切比雪夫多项式、魏尔斯特拉斯迫近定理、傅里叶级数与平均平方意义下的迫近。6.盘算机的数学原理在上世纪50年月,盘算机还是一个新生事物。《数学》第二卷的第十三、十四章详细解释了盘算机的事情原理和相关的数学原理,作为身处于信息时代的数学系的学生,有义务通晓这些很基本的数学原理。

作者首先先容了近似盘算中的一些基本观点,如收敛性、误差预计和稳定性等。然后作者简要说明晰早期的台式盘算机和分析盘算机的事情原理。接下来,作者重点解说了电子盘算机的事情原理,特别是以盘算一个多项式的值息争一个简朴的常微分方程为例子,仔细解释了如何将数学盘算的法式转化为机械的事情指令,从而来完成盘算的。7.非欧几何在《数学》第三卷的第十七章中,作者比力详细地先容了双曲非欧几何与其他几何学的一些基本思想。

双曲非欧几何是在证明欧几里得《几何原本》中著名的第五公设的历程中逐步形成的。作者在第一节叙述了证明第五公设的早期历史,在第二、三节讲了双曲非欧几何中的一些基本观点,在第四节先容了双曲非欧几何的模型。在接下来的几节里,作者划分讲了几何正义、爱尔兰根纲要、高维空间及其几何想象的方法、拓扑空间的思想、黎曼几何的基本观点等内容。十三、《数学》给予我们的两点启示(一)希望增强大学数学科普读物的出书力度笔者的一个大学数学系同学曾经写文章回忆他在大学的学习生活,其中说到数学家谷超豪先生在其时建议他读《数学》这三卷书,谷先生说,这是他在苏联留学时经常看的书,是“很经典的著作”。

从海内其他一些老一辈数学家写的文章中,也可以看到《数学》对他们的发展所发生的显著影响。由于一些比力庞大的原因,最近三十年来,针对每年数万名新入学的数学系学生,海内或许只出书了很少的十几种新的大学数学课程的科普读物(不包罗学习领导书),这远不能适应宽大数学系师生们教与学的需要。只靠一本课本和一本学习领导书,也许可以通过考试,可是却不太可能让学生真正明白和学会大学数学。这样看来,这三卷写于六十多年前的《数学》就显得比力珍贵了。

可是另一方面,因为20世纪现代数学生长的速度实在太快了,大学数学系的教学也在发生着很大的变化。现在来看《数学》中的部门内容,由于写作年月较早,不能不说感受确实有些陈旧,此外另有不少大学数学中最基本的内容,《数学》没有涉及。所以建议国家要增强大学数学课程的科普读物的出书力度,多出书像《数学》这样的新的高级科普读物。(二)讲大学数学要提前“剧透”基本思想关于大学数学的教学,笔者另有一个想法:看戏剧和读小说时,不行以提前剧透有关的剧情或提前宣布情节,否则就索然无味。

可是在讲大学数学课或写大学数学书时,应该完全相反,在前面开始讲或写的时候,要多“剧透”后面整个数学理论的基本思想。这是因为对于初学者来说,基本上所有的大学数学课程都是难以明白的。

学生往往在学完了整个课程后,才开始相识前面为什么要有这么多的观点和定理。如果一开始学习一门大学数学课程的时候,学生就能够听到(或读到)像《数学》这样的对相关课程基本思想的先容,从而可以相识数学知识的来龙去脉,那么他们学习起来自然就会感受有意思得多。此外笔者认为,像《数学》的作者们这样对于大学数学所作的从历史角度深入浅出的解说,是一种值得歌颂的本事,很值得我们大学数学教师们学习和掌握。参考文献[1] J. L. Casti,稳定量理论的两个转折点,数学译林,2001,第4期.[2] 陈跃,从历史角度讲大学数学,数学教育学报,2008,第4期.[3] [苏] A. 亚历山大洛夫等, 数学:它的内容、方法和意义(第一、二、三卷),科学出书社,1988.[4] 陈跃、裴玉峰,高等代数与剖析几何(上、下),科学出书社,2019.[5] 莫里斯·克莱因,古今数学思想(第三册),上海科学技术出书社,2002。

[6] 陈跃,从历史的角度引入复积分,高等数学研究,2007,第1期.本文转自微信民众号:小朱的念书条记。


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